一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的)
1、函数1)(3+=x x f 在x = 0处
A. 无定义
B. 不连续
C. 可导
D. 连续但不可导
2、设函数)(x f 在点x 0处连续,且.4)(0
lim 0=-→x x x f x x 则)(0x f = A. -4 B. 0 C.
41 D. 4 3、设函数1(1),0,()11sin ,0,2x a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+<⎩
若)(lim 0x f x x →存在,则a = A. 23 B. 121-e C. 12
3-e D. 21 4、设ln()z xy =,则dz = A. dy y dx x 11+ B. dy x dx y 11+ C. xy
dy dx + D. ydx xdy + 5、积分0x e dx +∞
-⎰
A. 收敛且等于-1
B. 收敛且等于0
C. 收敛且等于1
D. 发散
二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分)
6、若直线4y =是曲线1
23-+=x ax y 的水平渐近线,则a = 。 7、由参数方程⎩⎨
⎧=+=-t e y t x ,1sin 2所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是 。 8、积分(cos sin )x x x dx ππ-
+=⎰ 。 9、曲线x e y =及直线x = 0,x = 1和y = 0所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积V = 。
10、微分方程4450y y y '''-+=的通解是 。
三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明)
11、求极限⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-+∞→2ln )12ln(lim n n 。 12、计算不定积分⎰-)
1(x x dx 。 13、设函数dx
dy ,x y x 求2)1
(sin 2-=。 14、函数y = y (x )是由方程22y x e y +=所确定的隐函数,求
dx dy 在点(1,0)处的值。 15
、计算定积分10)x dx ⎰
。
16、求二重积分⎰⎰D
d xy σ2,其中积分区域{}
o x y x y x D ≥≤+=,1),(22。 17、设函数y x x z arctan =,求1
12==∂∂∂y x x y x 。
18、求微分方程y y x y ln tan '=满足初始条件e y x ==6
π的特解。
四、综合题(本大题共2小题,第19小题14分,第20小题8分,共22分)
19、已知函数)(x f 是2
3415205)(x x x x g +-=在),(+∞-∞上的一个原函数,且f (0)=0.
(1)求)(x f ;
(2)求)(x f 的单调区间和极值; (3)求极限400sin lim ()x x tdt f x →⎰。
20、设)(x f ,)(x g 都是),(+∞-∞上的可导函数,且1)0(),()('),()('===f x f x g x g x f ,g =(0)=0。试证:),(,1)()(2
2+∞-∞∈=-x x g x f 。
试题答案及评分参考
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1、D
2、B
3、B
4、A
5、C
二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分)
6、8
7、x +2y -3=0
8、4
9、)1(22-e π
10、)sin cos (212
x c x c e y x += 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
11、解法一:)211ln(2ln )12(ln(l i m l i m n n n n n n +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞
→∞→ 21
ln ])211ln[()211ln(21212lim lim ==+=+
=∞→∞→e
n n
n n n n 解法二:n n n n n n 1
2ln )12ln(2ln )12(ln(l i m l i m -+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→∞→ 211)'
(ln 22=====x x x x 解法三:⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞
→∞→2ln )12ln(2ln )12(ln(l i m l i m x n n x n n x
x x 1
2ln )12ln(lim -+=+∞→ 2分
6分
3分 2分
4分 6分 1分 2分
2
1121lim
1)1()12(1lim
2
2
=
+
=--
⋅+
=+∞
→+∞
→x
x
x x
x x
(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)
12、解法一:
⎰
⎰-=-x d x
x x dx 11
2)1(
=c x +arcsin 2
解法二:
⎰
⎰⎰---=-=-)2
1
()2
1
(4111
)1(22
x d x dx x
x x x dx
=c x +-)12arcsin(
解法三:设x = t ,则x = 2
t
⎰
⎰-=-tdt t
t x x dx 211
)1(2
=⎰
-dt t
2
112
=c t +arcsin 2
=c x +arcsin 2
13、解:)1(1cos 1sin 2)1(sin 22x x x x -⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ =x x 2
sin 12-,
2ln 2)'2(x x = ,
2ln 22sin 1)'2()1(sin 2)1(sin 2'
2'2x x x x x x x dx dy --=-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 14、解法一:将方程22y x e y
+=
两边对x 求导数得
2
2
2'22'y
x yy x y e y ++=
,
4分
5分 6分
2分
6分
2分
6分 1分
3分
5分
6分
3分 5分
6分
1分 4分
则x y y x e
y y
=-+)('22 y e x
y y x e x y dx dy y
y -=-+==∴
222' 11
0=∴
==x y dx
dy
。
解法二:将方程22y x e y
+=
两边取自然对数得
2
2
22'2221')ln(2
1
y x yy x y y x y ++⋅=∴+=
则x y y x y =-+)('22 y
e x y y x x y dx dy y -=-+==∴
222' 11
0=∴
==x y dx
dy
.
解法三:设F (x,y )=22y x e y
+-
,
则,2
2
2
2
22'y
x x y x x F x +-
=+-
=, 2
22
222'y
x y e y
x y
e F y y x +-=+-
=, y e x
y y x e x y x e y x x
F F dx dy y
y y y x -=-+=+-
+-
-=-=∴2222
222'' 11
0=∴
==x y dx
dy .
15、解:[
]
dx x x x x x x dx x x ')1ln()1ln()1ln(1
2
10
1
2
2⎰⎰
++-++=++
.
12)12ln(1)12ln(1)12ln(10
21
2
+-+=+-+=+-+=⎰
x
d
x x
5分
6分
1分 4分
5分
6分
1分
2分
3分
5分
6分
2分
4分 5分 6分
16、解法一:D={}
0,1),(2
2≥≤+x y x y x 如答图1所示
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==D
D
y dx xy dy dxdy xy d xy 1
1
10
22
22
σ .15
25131)53(21)1(21)21
(1
111532
21
1
10
2
22=-=
-=-==⎰⎰----y y dy y y dy
y x y 解法二:D={}
0,1),(2
2≥≤+x y x y x 如答图1所示
⎰⎰⎰⎰-
=D
d d d xy 2
21
42cos π
π
γθγθσ
.15
2sin 3
1
51sin cos 51sin cos 5
1
22
32
2
22
2
42
105=⋅===-
-
-⎰⎰π
π
π
ππ
π
θ
θθθγθθθγd d (说明:本题不画图,不扣分)
17、解:)()(1122y x y
x x y z -+=∂∂
=2
22
y
x x +-, .2
1
42)(2)(2)(21
12
222
2222222-=-=
∂∂∂∴+-=+⋅++-=∂∂∂∴==y x x
y z y x xy y x x x y x x x y z
18、解: 原方程可变形为:
xdx y
y dy
cot ln =,
1分
3分
4分
5分 6分
1分
3分
4分
5分 6分
2分
3分
5分
6分
2分
⎰
⎰
+=⇒=∴
1sin ln ln ln cot ln c x y xdx y y dy
(说明:没写蕝对值不扣分) 化简得:x c e y sin = 将初始条件代入得:22
1=⇒=c e
e c
故所求的特解为x e y sin 2=.
四、综合题(本大题共2小题,第19小题14分,第20小题8分,共22分) 19、解:(1),15205)()('2
3
4
x x x x g x f +-==
.
55)(,00)0(.55)15205()(3
4
5
345234x x x x f c f c x x x dx x x x x f +-=∴=⇒=++-=+-=∴⎰
(2))1)(3(15205)()('2
3
4
--+-==x x x x x x g x f ,
令0)('=x f ,解得x =0,x =1,x =3. 列函数性态表如下
(说明:不列表,分别讨论单调性不扣分)
故f (x )在区间(1,∞-)及(3,∞+)单调上升,在区间(1,3)单调下降;
f (x )的极大值f (1)=1,极小值f (3)=-27。
(3)解法一:)
('sin lim
)
(sin
lim
400
4
x f x
x f tdt
x x
x →→=⎰ .
015205sin lim 15205sin lim 22
4402
34
40=+-⋅=+-=→→x x x x x x x x x
x x
4分
5分
6分
1分 3分
4分
5分
8分
9分
11分
12分
14分
解法二:)
('sin lim )(sin lim 400
40x f x x f tdt
x x
x →→=⎰ .
015205lim 15205sin lim 22
02
3440=+-=+-=→→x x x x x x x
x x
20、证明:设)()()(22x g x f x F -=,
则)(')(2)(')(2)('x g x g x f x f x F -=。 .0)()(2)()(2)(')
()('),()('=-=∴==x f x g x g x f x F x f x g x g x f 故)()()(22x g x f x F -==c ,c 为常数。 又,0)0(,1)0(==g f
),(,1)()(122+∞-∞∈=-⇒=∴x x g x f c 。
14分 1分 3分 5分 6分 8分 11分 12分 14分
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