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 “割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设. 通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM 的方法来辅助解决极限概念教学的难题.

　　《高等数学》[  ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（7÷0）. 郭书春先生认为,刘徽在世界上先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [ ]

　　 　刘徽的“割圆术”

　　我国古代数学经典《九章算术》章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元6 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约800 余字的注记———“割圆术”.

　　“割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[ ]

　　 　几点注记

　　在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想.

　　 　数列极限的夹逼准则

　　刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l n 、L n 、S n .

　　刘徽用“勾股术”得[ ] :

　　若知L n ,则可求出圆内接正 n 边形的面积:

　　刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:

　　S n

　　“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”

　　limn →∞S n

　　即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.

　　 　折中的无限分割方法

　　关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的.