昆明初二数学补习班之因式分解的解题方法

 

分式的乘除法法则： .

 8．分式的乘方：

. 9．负整指数计算法则： （1）公式： a0=1(a≠0), a-n= (a≠0)； （2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算； （3）公式： ， ； （4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1. 10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定简公分母. 11．简公分母的确定：系数的小公倍数?相同因式的高次幂. 12．同分母与异分母的分式加减法法则： . 13．含有字母系数的一元一次方程：在方程 ax+b=0(a≠0)中,x 是未知数,a 和 b 是用字母表示 的已知数，对 x 来说，字母 a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母 b 是常数项，我们称它为含 有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用 a、b、c 等表示已知数，用 x、y、 z 等表示未知数. 14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形 的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意： 字母方程两边同时乘以含字母的代数式时， 一般需要先确认这个代数式的值不为 0. 15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未 知数的方程是整式方程. 16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代 数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不 要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根. 17． 分式方程验增根的方法： 把分式方程求出的根代入简公分母 （或分式方程的每个分母） ， 若值为零， 求出的根是增根，这时原方程无解； 若值不为零，求出的根是原方程的解；注意： 由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根. 18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加 “验增根”的程序. 数的开方 1．平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根， （即 a 的平方根是 x） ；注意： （1）a 叫 x 的平方数， （2）已知 x 求 a 叫乘方，已知 a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质： （1）正数的平方根是一对相反数； （2）0 的平方根还是 0； （3）负数没有平方根. 3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为 和 .注意： 可以看作是一个数，也可以认为是一 个数开二次方的运算. 4．算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为 .注意：0 的算术平方根还 是 0. 5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ， ≥0 .注意：非负数之和为 0，说明它们都是 0. 6．两个重要公式： （1） ; (a≥0) （2） . 7．立方根的定义：若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根， （即 a 的立方根是 x）.注意： （1）a 叫 x 的立方数； （2）a 的立方根表示为 ；即把 a 开三次方. 8．立方根的性质： （1）正数的立方根是一个正数； （2）0 的立方根还是 0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性： . 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数. 12．实数的分类： （1） （2） . 13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应. 14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无 理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意： （1）近似计算 时，中间过程要多保留一位； （2）要求记忆： . 三角形 几何 A 级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的鼎点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线.（如图） 几何表达式举例： (1) ③AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ③∠BAD=∠CAD ∴AD 是角平分线 2．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个鼎点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图） 几何表达式举例： (1) ③AD 是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ③ BD = CD ∴AD 是三角形的中线 3．三角形的高线定义： 从三角形的一个鼎点向它的对边画垂线，鼎点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） 几何表达式举例： (1) ③AD 是 ?ABC 的高 ∴∠ADB=90° (2) ③∠ADB=90° ∴AD 是 ?ABC 的高 ※4．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图） 几何表达式举例： (1) ③AB+BC＞AC ∴…………… (2) ③ AB-BC＜AC ∴…………… 5．等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） 几何表达式举例： (1) ③?ABC 是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ③AB = AC ∴?ABC 是等腰三角形 6．等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） 几何表达式举例： (1)③?ABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ③AB=BC=AC ∴?ABC 是等边三角形 7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和 180°； （如图） （2）直角三角形的两个锐角互余； （如图） （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （如图） ※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （1） （2） （3） （4） 几何表达式举例： (1) ③∠A+∠B+∠C=180° ∴………………… (2) ③∠C=90° ∴∠A+∠B=90° (3) ③∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ③∠ACD ＞∠A ∴………………… 8．直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图） 几何表达式举例： (1) ③∠C=90° ∴?ABC 是直角三角形 (2) ③?ABC 是直角三角形 ∴∠C=90° 9．等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图） 几何表达式举例： (1) ③∠C=90° CA=CB ∴?ABC 是等腰直角三角形 (2) ③?ABC 是等腰直角三角形 ∴∠C=90° CA=CB 10．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等； （如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图） 几何表达式举例： (1) ③?ABC∴?EFG ∴ AB = EF ……… (2) ③?ABC∴?EFG ∴∠A=∠E ………

11．全等三角形的判定： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图） （1） （2） （3） 几何表达式举例： (1) ③ AB = EF ③ ∠B=∠F 又③ BC = FG ∴?ABC∴?EFG (2) ……………… (3)在 Rt?ABC 和 Rt?EFG 中 ③ AB=EF 又③ AC = EG ∴Rt?ABC∴Rt?EFG

12．角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相等； （如图） （2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图） 几何表达式举例： (1)③OC 平分∠AOB 又③CD⊥OA CE⊥OB ∴ CD = CE (2) ③CD⊥OA CE⊥OB 又③CD = CE ∴OC 是角平分线

13．线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图） 几何表达式举例： (1) ③EF 垂直平分 AB ∴EF⊥AB OA=OB (2) ③EF⊥AB OA=OB ∴EF 是 AB 的垂直平分线

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理： （1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等； （如图） （2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图） 几何表达式举例： (1) ③MN 是线段 AB 的垂直平分线 ∴ PA = PB (2) ③PA = PB ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上

15．等腰三角形的性质定理及推论： （1）等腰三角形的两个底角相等； （即等边对等角） （如图） （2）等腰三角形的“鼎角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一； （如图） （3）等边三角形的各角都相等，并且都是 60°.（如图） （1） （2） （3） 几何表达式举例： (1) ③AB = AC ∴∠B=∠C (2) ③AB = AC 又③∠BAD=∠CAD ∴BD = CD AD⊥BC ……………… (3) ③?ABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C =60°

16．等腰三角形的判定定理及推论： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等； （即等角对等边） （如 图） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （如图） （3）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形； （如图） （4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图） （1） （2） （3） （4） 几何表达式举例： (1) ③∠B=∠C ∴ AB = AC (2) ③∠A=∠B=∠C ∴?ABC 是等边三角形 (3) ③∠A=60° 又③AB = AC ∴?ABC 是等边三角形 (4) ③∠C=90°∠B=30° ∴AC = AB

17．关于轴对称的定理 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形； （如图） （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图） 几何表达式举例： (1) ③?ABC、?EGF 关于 MN 轴对称 ∴?ABC∴?EGF (2) ③?ABC、?EGF 关于 MN 轴对称 ∴OA=OE MN⊥AE

18．勾股定理及逆定理： （1）直角三角形的两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2； （如图） （2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图） 几何表达式举例： (1) ③?ABC 是直角三角形 ∴a2+b2=c2 (2) ③a2+b2=c2 ∴?ABC 是直角三角形

19．Rt? 斜边中线定理及逆定理： （1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半； （如图） （2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图） 几何表达式举例： (1) ③?ABC 是直角三角形 ③D 是 AB 的中点 ∴CD = AB (2) ③CD=AD=BD ∴?ABC 是直角三角形 几何 B 级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念： 三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线 的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、 轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识： 1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和. 2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个 交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角 平分线、中线、高线都是线段. 3． 如图， 三角形中， 有一个重要的面积等式， 若 CD⊥AB， ⊥CA， CD?AB=BE?CA. 即： BE 则 4．三角形能否成立的条件是：长边＜另两边之和. 5．直角三角形能否成立的条件是：长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含 30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC?CB=CD?AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A . 8．三角形中，多有一个内角是钝角，但少有两个外角是钝角. 9．全等三角形中，重合的点是对应鼎点，对应鼎点所对的角是对应角，对应角所对的边是 对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形.